Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel

 1.    Kalimat

Apa yang Perlu Kamu Ketahui?

    Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering bertemu dengan persoalan terkait kalimat. "Apa kaitan kalimat dengan persamaan atau pertidaksamaan?" Dalam materi ini secara umum kita akan menyingkap fakta bahwa persamaan atau pertidaksamaan merupakan kalimat (katakanlah bahasa matematika) yang digunakan bertujuan mencari nilai kebenaran yang mungkin. Bisa dalam bentuk kalimat setara (persamaan) atau tidak setara (pertidaksamaan). 

• definisi: kalimat terbuka/tertutup, linear, persamaan/pertidaksamaan, variabel

• penyelesaian masalah: persamaan/pertidaksamaan linear satu variabel

A.   Kalimat Tertutup dan Kalimat Terbuka

Perhatikan kalimat berikut. 

 

Kita amati kalimat di atas: 

(1): kalimat tertutup atau pernyataan (bernilai benar; kebenaran dapat langsung ditentukan) 

(2): kalimat terbuka (terdapat variabel; nilai kebenaran belum pasti) 

(3): kalimat tertutup (bernilai salah; kebenaran dapat langsung ditentukan)

Dari analisis di atas kita mampu memahami dan dapat mendefinisikan sendiri, apa itu kalimat terbuka dan kalimat tertutup.

 

Contoh 1 Perhatikan kalimat di bawah ini:

1. Semarang adalah ibukota provinsi Jawa Tengah.

2. Susilo Bambang Yudhoyono menjadi presiden RI pada tahun 2003-2013.

3. Hari ini hujan deras.

4. Dua ditambah suatu bilangan menghasilkan delapan.

5. Susi adalah siswi di sekolah itu.

 PENYELESAIAN.

(1): kalimat tertutup (bernilai benar) 

(2): kalimat tertutup (bernilai salah; karena SBY menjabat pada 2004-2014) 

(3): kalimat tertutup-faktual (bernilai benar/salah secara pasti, asalkan diselidiki lanjut) 

(4): kalimat terbuka (terdapat variabel: 'suatu bilangan') 

(5): kalimat tertutup-faktual (bernilai benar/salah secara pasti, asalkan diselidiki lanjut).

 

2.    Persamaan Linear Satu Variabel (PLSV)

Sebelum melangkah lebih lanjut, mari kita pahami makna kata pembentuk dari PLSV:

• persamaan: hubungan kesetaraan (disimbolkan '$=$')

• linear: terletak pada garis lurus (sistem garis bilangan)

• variabel: variasi nilai yang memenuhi kemungkinan

Dari hal di atas, kita boleh mendefinisikan PLSV sebagai berikut:

 

Perhatikan beberapa contoh persamaan linear berikut:

$\mathrm{1.\; x}+3=7$

$\mathrm{2.\; 3}x+5=11$

$\mathrm{3.\; 2}x+3y=7$

${\mathrm{4.\; x}}^2-2x+3=0$

$\mathrm{Dari\; contoh\; di\; atas,\; apakah\; semua\; termasuk\; PLSV?\; Jika\; kalian\; menjawab\; "Tidak\; semua,",\; itu\; berarti\; kalian\; mulai\; memahami\; pengertian\; PLSV.\; Jadi,\; persamaan\; (1)\; dan\; (3)\; merupakan\; PLSV,\; kemudian\; persamaan\; (2)\; dan\; (4)\; bukan\; PLSV\; (merupakan\; persamaan\; linear\; dua\; variabel).}$

2.1 Penyelesaian PLSV

A: Substitusi

Substitusi berarti 'mengganti' variabel dengan nilai yang memenuhi.

 

B: Operasi Antar-Ruas

Cara operasi antar-ruas ini cenderung lebih baik dan lebih praktis, dengan memperhatikan prinsip berikut ini.

(1)... Jika ruas kiri dioperasikan ($+,-,\times ,:$) suatu bilangan $a$, maka ruas kanan juga dioperasikan (jenis operasi yang sama dengan ruas kiri) suatu bilangan $a$.

 

(2)... Jika bilangan $a$ di ruas kiri dipindahkan ke ruas kanan, maka tanda operasi yang melekat bilangan $a$ berubah lawannya ('$+$' lawannya '$-$' ; dan '$\times$' lawannya '$:$').

 

Contoh 2 

1.    Jika 

$x+6=4x-6$ 

maka nilai dari $x-4$ adalah $\cdots$  

 

2.    Tentukan selesaian dari persamaan 2(x − 4) +5x = 34

Penyelesaian :

2(x − 4) +5x = 34

2x − 8 +5x = 34

7x − 8 = 34

7x − 8 + 8 = 34 + 8

7x = 42

7x/7 = 42/7

x = 6

 

3.    Pertidaksamaan Linear Satu Variabel (PtLSV)

    Pertidaksaman memiliki makna: 'hubungan ke-tidaksetaraan'. Dalam konsep ini, kita akan menggunakan beberapa simbol dengan masing-masing makna yang berbeda:

• $>$, yaitu 'lebih dari'

• $<$, yaitu 'kurang dari'

• $\ge$, yaitu 'lebih dari atau sama dengan'

• $\le$, yaitu 'kurang dari atau sama dengan'
  

 Sekarang kita coba mendefinisikan PtLSV, mungkin dengan cara seperti ini.

 

 Perhatikan! Semua kalimat di bawah ini merupakan contoh dari PtLSV.

1. Daya angkut maksimal suatu kendaraan adalah maksimal 1 ton.

2. $x+5<9$

3. $\mathrm{3a-1\le a+5}$

3.1 Penyelesaian PtLSV

    Sama halnya dengan persamaan, pertidaksamaan dapat diselesaikan dengan cara: (1) substitusi, dan (2) operasi antar-ruas. Dengan tambahan catatan khusus ini untuk pertidaksamaan:

(1)... Jika kedua ruas dikali ($\times$) atau dibagi ($:$) suatu bilangan $-a$ (negatif), maka tanda pertidaksamaan berubah berlawanan ('$>$' lawannya '$<$' ; dan '$\ge$' lawannya '$\le$').

 

(2)... Jika suatu bilangan $-a$ yang melekat operasi kali atau bagi dipindah ruas, maka tanda pertidaksamaan berubah berlawanan.

 

Contoh 3  

Himpunan penyelesaian dari 

$2x-3\ge 5x+9$ 

untuk $x$ bilangan bulat adalah$\cdots$ 

 

 

 

 

 

 

•