Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

KPK yaitu untuk mencari bilangan kelipatan terkecil yang sama dari dua atau lebih bilangan. 

Bilangan kelipatan $15$ adalah $15,$$30,$$45,60,...$
Bilangan kelipatan $6$ adalah $6,12,18,24,$$30,$$36,...$
Sehingga didapat KPK dari $15$ dan $6$ adalah $30$

$\mathrm{Namun,\; cara\; di\; atas\; kurang\; efisien\; dan\; terlalu\; lama\; untuk\; mencari\; perolehan\; nilai\; KPK,\; maka\; atas\; sebab\; itu\; seseorang\; memikirkan\; sebuah\; cara\; lain\; yang\; lebih\; baik\; dengan\; hasil\; yang\; sama\; akurat.\; Yang\; kita\; ketahui\; saat\; ini\; dan\; biasa\; kita\; gunakan\; yaitu\; dengan\; pohon\; faktor.}$

Aturan Mencari KPK

1. Buat pohon faktor dan faktorisasi prima
2. Untuk menghitung nilai KPK: Ambil semua nilai faktorisasi prima dan untuk nilai yang sama ambillah pangkat terbesar

Lihatlah cara mencari nilai KPK dengan pohon faktor di bawah ini.

Gambar KPK

Dalam beberapa kasus KPK digunakan untuk menjawab persoalan sehari-hari yang melibatkan pencarian kelipatan yang sama terkecil. Misalnya mencari kedatangan suatu transportasi umum di terminal bila mempunyai pola yang tetap di setiap menitnya, hal tersebut akan membentuk suatu pola kelipatan. Untuk memberikan gambaran lebih jelas di pikiran mari kita pikirkan contoh soal ini.

CONTOH 1

Tiga armada bus Asoka, Bernanda, dan Cendikia pada sebuah terminal berangkat dengan waktu yang berbeda. Armada Asoka, tiap busnya berangkat setiap $20$ menit. Sedangkan armada Bernanda, berangkat setiap $25$ menit dan armada Cendikia setiap $35$ menit sekali. Setiap berapa menit ketiga armada berangkat bersama-sama?

PEMBAHASAN
Diketahui:

• Armada Asoka: berangkat setiap $\mathrm{20\; menit}$
• Armada Bernanda: berangkat setiap $25$ menit
• Armada Cendikia: berangkat setiap $35$ menit

Ditanya:
Setiap berapa menit ketiga armada berangkat?
Jika dipikirkan secara urut dan perlahan, lihatlah kalimat "Setiap berapa menit...," hal ini mengarahkan pikiranmu pada fakta di soal bahwa setiap armada bus berangkat dari terminal dalam setiap waktu yang tetap sehingga membentuk penjumlahan -waktu bus berangkat dari terminal- sama berulang, kita lihat bukankan itu sebuah kelipatan? Maka pasti ada kelipatan yang sama dari ketiganya yang mempunyai maksud keberangkat ketiga armada bus bersamaan sekaligus.
Maka, maksud pertanyaan "Setiap berapa menit ketiga armada berangkat bersama-sama?" adalah mengarah pada kelipatan waktu keberangkatan yang sama dari ketiga armada bus. Mulai dari sini kita tahu bagaimana cara menjawab soal jenis ini.
Dijawab:
Pertama, kalian sudah mengetahui untuk mencari KPK dari $20$, $25$, dan $35$ dengan pohon faktor. Kami di sini akan menampilkan hasil faktorisasi prima dan nilai KPK saja dan gunakanlah sebagai validasi (pengecekan kebenaran) pengerjaan kalian.

Faktorisasi Prima

• $20=2^2\times 5$
• $25=5^2$
• $35=5\times 7$

KPK $=2^2\times 5^2\times 7$ $=700$

Jadi, ketiga armada: Asoka, Bernanda, dan Cendikia akan berangkat bersama setiap $700$ menit sekali atau jika dijadikan jam sama dengan 11 jam 40 menit.

CONTOH 2

Yusuf, Albi dan Yoga mengikuti les berenang pada tempat yang sama. Yusuf les setiap 4 hari sekali, Albi les setiap 5 hari, dan Yoga setiap 6 hari. Jika mereka mengikuti les bersama untuk pertama kalinya pada hari Senin tanggal 12 November 2020, maka mereka akan les bersama lagi untuk kedua kalinya pada...

PEMBAHASAN
Diketahui:

• Yusuf: setiap 4 hari
• Albi: setiap 5 hari
• Yoga: setiap 6 hari
• Les bersama pertama kali: 12 November 2020

Ditanya:
Kapan mereka bertiga akan les berenang bersama?
Pertanyaan yang juga memilik maksud kelipatan hari yang sama dari Yusuf, Albi, dan Yoga.
Dijawab:

Faktorisasi Prima

• $4=2^2$
• 5=5
  
• 6=2x3
• KPK $=2^2\times 3\times 5$ $=60$

Kita dapatkan mereka akan bersama setelah 60 hari dari pertama kali les berenang bersama. Sehingga: 12 November 2020 + 60 hari = ..?

Tips menentukan hari

$h_0+\left[sisa\right(KPK:7\left)\right]$

$\text{Senin}+\left[\text{sisa}\right(60:7\left)\right]$
$=\text{Senin}+\left[8sisa\right(4\left)\right]$
$=\text{Senin}+4\text{hari}$
$=\text{Jumat}$

Tips menentukan tanggal

$t_0+KPK$

$12+60=72$

• November 2020 (30 hari): $72-30=42\text{(bulan November terlewat dan sisa 42, masih bisa dikurangi jumlah hari di bulan selanjutnya)}$
• $\text{Desember 2020 (31 hari): 42−31=11 bulan (Desember terlewat dan sisa 11, sudah tidak dapat dikurangi jumlah hari di bulan selanjutnya sehingga didapat 11 Januari 2021)}$ 
  Jadi, Yusuf, Albi dan Yoga akan mengikuti les berenang bersama lagi pada Jumat, 11 Januari 2021
   
  

 CONTOH 3

Lampu merah menyala 8 menit sekali, lampu kuning 12 menit sekali, dan lampu hijau menyala 4 menit sekali, ketiga lampu menyala bersamaan pada pukul 10.00. Kedua lampu akan menyala lagi bersamaan untuk kedua kalinya pukul...

Pembahasan:
Lampu merah = 8 menit
Lampu kuning = 12 menit
Lampu hijau = 4 menit
Kita cari faktorisasi prima dari 8, 12, dan 4:

Ketiga lampu menyala bersama 24 menit kemudian:
10.00 + 24 menit = 10.24